习题 1.38

设 $c>0$ 固定, 取定 $x_0>\sqrt{c}$, 对于 $n\ge 0$, 令 $$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{c}{x_n}\right),n=0,1,2,\cdots ,$$ 求证 $x_n\to \sqrt{c}$. 取 $c=2$, $x_0=2$, 求 $x_1,x_2,x_3,x_4$, 并给出 $\left|x_n-\sqrt{2}\right|$ 的一个上界.

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

1. 证明 $x_n\to \sqrt{c}$

给定 $c>0$, $x_0>\sqrt{c}$, 定义
$$x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{c}{x_n}),n=0,1,2,\dots$$

• 下界：由算术–几何平均不等式，对任意 $n\ge 0$，
  $$x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{c}{x_n}}{2}\ge \sqrt{x_n\cdot \frac{c}{x_n}}=\sqrt{c}.$$
  又 $x_0>\sqrt{c}$, 故对所有 $n$ 有 $x_n\ge \sqrt{c}$.

• 单调递减：当 $x_n\ge \sqrt{c}$ 时，
  $$x_{n+1}-x_n=\frac{c-x_n^2}{2x_n}\le 0,$$
  所以 $\{x_n\}$ 单调递减.

• 收敛性：单调递减有下界 $\sqrt{c}$, 故极限 $L={\lim }_{n\to \infty }{x}_n$ 存在. 在递推式两边取极限得
  $$L=\frac{1}{2}(L+\frac{c}{L})⟹L=\frac{c}{L}⟹L^2=c.$$
  因 $L\ge \sqrt{c}>0$, 故 $L=\sqrt{c}$. 即 $x_n\to \sqrt{c}$.

2. 取 $c=2$, $x_0=2$, 求 $x_1,x_2,x_3,x_4$

利用递推公式直接计算（精确分数）：

$$\begin{array}{rl}{x}_1& =\frac{1}{2}(2+\frac{2}{2})=\frac{1}{2}(2+1)=\frac{3}{2},\\ x_2& =\frac{1}{2}(\frac{3}{2}+\frac{2}{3/2})=\frac{1}{2}(\frac{3}{2}+\frac{4}{3})=\frac{1}{2}\cdot \frac{17}{6}=\frac{17}{12},\\ x_3& =\frac{1}{2}(\frac{17}{12}+\frac{2}{17/12})=\frac{1}{2}(\frac{17}{12}+\frac{24}{17})=\frac{1}{2}\cdot \frac{289+288}{204}=\frac{577}{408},\\ x_4& =\frac{1}{2}(\frac{577}{408}+\frac{2}{577/408})=\frac{1}{2}(\frac{577}{408}+\frac{816}{577})=\frac{1}{2}\cdot \frac{577^2+2\cdot 408^2}{408\cdot 577}=\frac{665857}{470832}.\end{array}$$

3. $|x_n-\sqrt{2}|$ 的一个上界

记 $e_n=x_n-\sqrt{c}$ ($c=2$). 由递推式可得
$$e_{n+1}=x_{n+1}-\sqrt{c}=\frac{(x_n-\sqrt{c}{)}^2}{2x_n}=\frac{e_n^2}{2x_n}.$$ 因为 $x_n\ge \sqrt{c}$ (已证), 故 $2x_n\ge 2\sqrt{c}$, 从而
$$e_{n+1}\le \frac{e_n^2}{2\sqrt{c}}.$$ 反复应用此不等式可得 (归纳法)
$$e_n\le \frac{e_0^{2^n}}{(2\sqrt{c}{)}^{2^n-1}},n\ge 0.$$

对于 $c=2$, $\sqrt{2}\approx 1.414213562$, $e_0=2-\sqrt{2}$, $2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$, 于是
$$\boxed{|x_n-\sqrt{2}|\le \frac{(2-\sqrt{2}{)}^{2^n}}{(2\sqrt{2}{)}^{2^n-1}},n=0,1,2,\dots }$$ 该上界对任意 $n$ 成立, 且当 $n=0$ 时等号成立.

（注：也可利用更精确的估计
$|x_n-\sqrt{2}|\le (2+\sqrt{2})(\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}{)}^{2^n}$,
但上述形式已足够.）

解答完毕.