习题 1.2

设 $(X,d)$ 为度量空间 $,x,y,z,w\in X$. 求证 $$|d(x,y)-d(z,w)|\le d(x,z)+d(y,w).$$

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

证明：由度量 $d$ 的三角不等式，对任意 $x,y,z,w\in X$，有 $$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)\le d(x,z)+d(z,w)+d(w,y)=d(x,z)+d(z,w)+d(y,w),$$ 移项即得 $$d(x,y)-d(z,w)\le d(x,z)+d(y,w).\text{\hspace{1em}(1)}$$ 同理， $$d(z,w)\le d(z,x)+d(x,w)\le d(z,x)+d(x,y)+d(y,w)=d(x,z)+d(x,y)+d(y,w),$$ 移项得 $$d(z,w)-d(x,y)\le d(x,z)+d(y,w).\text{\hspace{1em}(2)}$$ 综合 $(1)$ 和 $(2)$，便有 $$|d(x,y)-d(z,w)|\le d(x,z)+d(y,w).$$