习题 1.3

设 $X$ 为由 0 和 1 构成的三元序组之集, 即 $$X=\left\{\left(a_1,a_2,a_3\right):a_i=0\text{ 或者 }{a}_i=1\right\}.$$ 若 $x,y\in X$, 定义 $d(x,y)$ 为 $x$ 和 $y$ 不同分量的个数. 求证: $d$ 为 $X$ 上的度量. 是否可在 $n$ 元序组之集 $\{\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right):a_i=0$ 或者 $a_i=1\}$ 上定义类似的度量?

解答

解答使用 DeepSeek v3.2 Speciale 生成

设 $X=\{0,1{\}}^3$，对 $x=(x_1,x_2,x_3),y=(y_1,y_2,y_3)\in X$，定义
$$d(x,y)=\#\{i\mid x_i\ne y_i\}.$$ 则 $d$ 满足度量公理：

1. 非负性：显然 $d(x,y)\ge 0$。
2. 同一性：$d(x,y)=0⟺$ 对所有 $i$ 有 $x_i=y_i⟺x=y$。
3. 对称性：$d(x,y)=d(y,x)$，因为 $x_i\ne y_i⟺y_i\ne x_i$。
4. 三角不等式：对任意 $x,y,z\in X$，考虑每个坐标 $i$。
   若 $x_i=z_i$，则 $1_{\{x_i\ne z_i\}}=0$；
   若 $x_i\ne z_i$，则 $y_i$ 不能同时等于 $x_i$ 和 $z_i$，故 $1_{\{x_i\ne y_i\}}+1_{\{y_i\ne z_i\}}\ge 1=1_{\{x_i\ne z_i\}}$。
   因此对每个 $i$ 有
   $$1_{\{x_i\ne z_i\}}\le 1_{\{x_i\ne y_i\}}+1_{\{y_i\ne z_i\}}.$$
   对 $i$ 求和即得
   $$d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z).$$

故 $d$ 是 $X$ 上的度量。

对于一般的 $n$ 元序组之集 $\{0,1{\}}^n$，完全类似地定义
$$d_n(x,y)=\#\{i\mid x_i\ne y_i\},$$ 上述验证过程逐字适用（只需将下标范围改为 $1,\dots ,n$），因此 $d_n$ 也是度量。所以可以在 $n$ 元序组之集上定义同样的度量。