2024-2

$X$ 为 Banach 空间，$A\in B(X)$，证明：

1. 若 $\Vert A\Vert <1$，则 $S_n=I_X+A+A^2+\cdots +A^n$ 为 $B(X)$ 中的柯西列；
2. 若 $\Vert A\Vert <1$，则 $I_X-A$ 在 $B(X)$ 中可逆。即 $\exists B\in B(X)$，使得 $(I_X-A)B=B(I_X-A)=I_X$；
3. 集合 $\{T\in B(X),T$ 可逆，即 $\exists B\in B(X)$，使得 $TB=BT=I_X\}$ 为 $B(X)$ 中的开集。

解答