2024-5

设 $X=C([-1,1])$，为所有定义在 $[-1,1]$ 上的实值连续函数合集，定义范数$\Vert x{\Vert }_1={\int }_{-1}^1|x(t)|dt$，$\forall x\in X$，令 $f(x)=2{\int }_{-1}^{0}x(t)\mathrm{d}t-{\int }_0^{1}x(t)\mathrm{d}t$，证明：$f\in X^{\prime }$，并求 $\Vert f\Vert$。

解答

与 2018-3 第 1、3 问类似进行绝对值放缩，可证明 $f(x)\le 2\Vert x{\Vert }_1$，进而 $f\in X^{\prime }$；取 $x(t)$ 在 $[-1,0]$ 上大于零，在 $[0,1]$ 上恒等于零，即可证明 $f(x)\ge 2\Vert x{\Vert }_1$，进而 $\Vert f\Vert =2$。